Bóg jest matematykiem – cz. 2
W poprzedniej części artykułu poznaliśmy ideę zbioru pustego. Ktoś mógłby powiedzieć “A na co mi ten zbiór pusty? Jest pusty, a z pustego to i Salomon nie naleje!” Otóż naleje i to całkiem sporo. Mianowicie zbioru pustego używa się (m.in.) do konstrukcji innych zbiorów.
Konstrukcja liczb
John von Neumann w latach 20. XX wieku zaproponował konstrukcję liczb naturalnych w ramach aksjomatyki ZF. W tej konstrukcji:
- 0:=∅
- 1:={0}={∅}
- 2:={0,1}={∅, {∅}}
- 3:={0,1,2}={∅, {∅}, {∅,{∅}}}
- Itd.
Jak można inaczej rozumieć ten zapis? Ile elementów ma zbiór pusty ∅? 0. A zbiór, którego elementem jest zbiór pusty {∅} – 1.
Każda liczba naturalna n to zbiór wszystkich liczb naturalnych mniejszych od n, czyli:
- n:={0,1,2,…,n−1}
Dzięki temu:
- n⊂n+1
- n∈n+1
To bardzo elegancka konstrukcja, ponieważ pozwala zdefiniować całą arytmetykę tylko przy użyciu zbiorów. Ponadto Aksjomat Nieskończoności (również z aksjomatyki ZF) pozwala nam dokładać kolejne liczby naturalne w nieskończoność. W ten sposób powstaje nieskończony zbiór liczb naturalnych ℕ. Jak stworzyć liczby całkowite? W prosty sposób: weźmy liczby naturalne i dołóżmy do nich te same liczby, tylko że z minusami:
ℤ = {±n : n ∈ ℕ}.
I one wszystkie, podobnie jak liczby naturalne, są stworzone ze zbioru pustego. Następnie można skonstruować wszystkie liczby wymierne: weźmy ułamki a/b gdzie a i b są liczbami całkowitymi oraz b jest różne od zera (ponieważ nie można dzielić przez zero):
ℚ ={ a/b : a ∈ℤ i b ∈ℤ\{0}},
I tu też wszystko bazuje na zbiorze pustym. Można pójść dalej i konstruować liczby rzeczywiste, zespolone (liczby dwuwymiarowe), kwaterniony (liczby czterowymiarowe) czy nawet hiperrzeczywiste (liczby nieskończenie wiele wymiarowe) i za każdym razem wszystkie te liczby będą zbudowane na zbiorze pustym.
Było ciężko, drodzy czytelnicy? To trzymajcie pasy, bo teraz wchodzi cała na biało:
Mechanika Kwantowa
Cóż to takiego jest? W dużym przybliżeniu, to część Fizyki, która zajmuje się wszechświatem w bardzo małej skali, na poziomie atomów, a nawet mniejszym. Opisuje ona działanie 3 z 4 sił władających naszym wszechświatem: oddziaływanie silne, oddziaływanie słabe oraz elektromagnetyzm. Wszystko fajnie, wystarczy wrzucić w równania z liczbami zespolonymi, które sprawdzają się dużo lepiej od liczb rzeczywistych przy opisie zachowania cząstek elementarnych. Ale ja nie o tym. Wspomnieliśmy tylko o trzech oddziaływaniach, a co z czwartym? Jest to grawitacja, którą w XVII wieku bardzo ładnie opisał Izaak Newton. Później okazało się, że to nie wystarczy przy obserwacji zachowania ruchu planet, więc na początku XX wieku Albert Einstein tworzy swoją Ogólną Teorię Względności. Póki co sprawdza się znakomicie przy wszelkich obserwacjach. Jest jednak małe “ale” – tak przedstawiona grawitacja nie daje się opisać za pomocą mechaniki kwantowej. Tzn. Mechanika kwantowa działa w mikroskali, a grawitacja w makroskali. My, ludzkość, lubimy opisywać fakty w jeden prosty sposób i teoretycznie tak też powinno być z oddziaływaniami w naszym wszechświecie. Dlatego naukowcy poszukiwali różnych teorii, które scalałyby mechanikę kwantową z ogólną teorią względności Einsteina. Powstało wiele takich teorii, hipotez, żadna z nich nie doczekała się dowodu swojej prawdziwości. Część z nich można wrzucić do jednego worka:
Teoria Strun
W dużym uproszczenie, wszystkie z teorii strun mówią, że jeśli spojrzeć na jakąś cząstkę bardzo, bardzo, baaaardzo blisko to jest ona kosmykiem energii, struną, która wibruje z określoną częstotliwością. I w zależności od częstotliwości tych wibracji, mamy inną cząstkę. Drga sobie w jeden sposób – mamy elektron, szturchniemy ją by drgała inaczej – kwark górny, znowu zmienimy jej częstotliwość – neutrino. I co ciekawe, te drgania muszą być nie w naszej trójwymiarowej przestrzeni, tylko (w zależności od wariantu teorii strun) od 10 do nawet 26 wymiarów. Dlaczego nie widzimy tych innych wymiarów? Są różne hipotezy wyjaśniające, dlaczego tak jest, ale skupmy się na tych cząstkach drgających z różną częstotliwością.
Każda cząstka jest tym samym kosmykiem energii, różni się tylko częstotliwością wibracją. Jest tym samym… różni się tylko częstotliwością… A co, jeśli ta energia, to zbiór pusty? A częstotliwość drgań to pewna liczba wygenerowana z tego zbioru pustego? Cały wszechświat i wszystko w nim jest zbudowane ze zbioru pustego. Zatem można postawić tezę:
Bóg jest Matematykiem!
Bo bez Matematyki nie istniałby nasz wszechświat. Ale zaraz, czy czasem z tymi teoriami strun nie jest tak, że teraz naukowcy odchodzą od tej idei? Owszem jest tak, bo po głębszych analizach liczba rozwiązań gwałtownie rośnie, wręcz do nieskończoności, nie wiadomo które jest poprawne. A fizycy nie lubią nieskończoności, co innego matematycy – my lubimy nieskończoność, nawet zwykłe równanie liniowe y = ax + b ma nieskończenie wiele rozwiązań (dla podanych a i b). Oraz oczywiste jest, że jeśli naukowcy teraz nie zgadzają się z jakąś teorią nie znaczy, że jest ona błędna. Poza tym wiele religii mówi, że wszystko powstało z niczego i/lub pustka jest wszędzie. Ba – nawet teoria Wielkiego Wybuchu mówi, że wszystko powstało z niczego. Nie wiem czym jest Bóg, wiem czym nie jest… ale niezależnie od wersji religii teistycznej, nie-teistycznej czy nawet ateistycznej – wszechświat istnieje dzięki matematyce!